来源：本文刊发于《中国计量》杂志年第７期
作者：天津市计量博物馆艾学璞国家市场监督管理总局郑颖
天津市计量监督检测科学研究院马宁北京市计量检测科学研究院刘海鹏
研究史料不难看出，中国古代的角度计量，在相当长一段历史时期处于“有角无度”的定性阶段，所以那些涉及“平面度”“垂直度”等与角度定量分析有关的计量器具和测量方法，始终难以列入国家法定计量管理范畴。自古以来，“矩”作为角度计量器具，仅是“规圆矩方”之工具；而“用矩之道”作为算数之学的例题，被记载在中国古代算经之中。自《周髀》成书问世以来，已逾两千多年，该书记载的“规圆矩方”的“用矩之道”等计量测量技艺，在社会生产领域始终在“百工”等各种制造技能中流传。
一、关于“有角无度”
我们的先辈在认识客观世界的实践中，最早通过观察太阳、月亮的变化，认识的几何图形是“圆、方、矩、角”———圆形、正方形、直角三角形、角至圆及圆至角的演化，发现了它们围绕着“角”这一可计量的量，并且具有相互导出的科学关系。“没有规矩不成方圆”说的就是这个演变规律。从现代科学的角度分析，我们祖先所认识的“圆”这一可计量的量，尚未达到以圆心角“划角分度”的定量分析水平，而是沿着“平直求矩”的认识途径，探索“圆出于方、方出于矩”的“有角无度”的计量方法。
二、“无度之角”源于“伸圆展方”“勾股共结一角”
《周髀算经》载：昔者周公问于商高曰，“窃闻乎大夫善数也，请问古者包羲(伏羲)立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰，“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之外半其一矩，环而共盘得成三四五，两矩共长二十有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所生也”。上述记载，正是中国古代对几何量角度“有角无度”计量的详细描述。
通常人们熟知的《周髀算经》，其实原为《周髀》，至唐朝李淳风奉勑注释，列为中国古代十大算经之首，那时起才始称《周髀算经》。李淳风注释：商高曰，“数之法，出于圆方”时讲到，“圆径一而周三，方径一而匝四，伸圆之周而为句，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。此圆方邪径相同之率，故曰数之法出于圆方者，天地之形阴阳之数。”此段注释用圆的直径为一，周长为三的测量结果，介绍了中国最古老的圆周率“径一周三”；在此圆内做圆内接正方形，由“径一”而引出正方形四条边为“匝四”。通过“伸圆之周而为句和展方之匝而为股”遂使“方”“圆”与数通过圆的直径为“一”联系在一起，“伸圆”与“展方”“共结一角”。这是出现在我国古代算经上讲述的“角”的形成即“角”的概念。在其后，李淳风注释：“以为句广三，股修四，径隅五”，讲到“自然相应之率经直隅角也”即“伸圆”与“展方”“共结一角”此角为“直隅角”。
何为“直隅角”？我们的祖先在生产实践中很早就发现“角”是一种可计量的量，并能区分出角的大小、确定角的量值。“伸圆”与“展方”“共结一角”就是中国古代数学、计量学发展进程中给“角”这一可计量的量进行的定义，同时也是以“伸圆”与“展方”“共结一角”为方法画出一个特定“角”的图形之统一方法。这种方法确定的“角”虽然是一个定量值，但尚达不到用数和量进行表征、表述任意“角”的量的科学水平。从计量科学的定义出发，中国古代对“角”的认识，处在定性区别向定量分析发展的阶段。从现代数学和计量学出发，中国古代对“角”的认识处在“有角无度”的水平———认识“角”的客观存在，但尚未找到准确的“分角为度”的计量测量方法。
考证史料发现，世界上关于“分角为度”之“角度”的起源，流行的说法主要有：一是早在公元前年，生活在现伊拉克南部的古苏美尔人计算太阳绕地球运行一周为天，太阳的运行轨迹是一个圆，于是，人们把圆分为个等份，这是最古老的圆心角为的说法；二是公元前年，古巴比伦人经过测量，得出春秋分日时日出至日落的运行轨迹恰等于个太阳直径的长度，遂定太阳绕地球一周为个太阳的直径，将太阳直径作为间隔，每一个太阳直径为一度，由此出现了“度圆心角分角体系”。
三、中国古代不用“度”表示的角
很多史料表明，中国古人不用“度”表示“角”。归纳例举在汉语语汇中表示“角”的字词有：
1.“隅”(yú):角也、方角。物之方者皆有四隅。
2.“方”:与“圆”相对。四角都是直角的四边形或六面都是直角的四边形的立体。
3.“觚”(gū)，其解：(1)为古代酒器。《周礼》中说：爵一升，觚二升。(2)为棱角。《汉书·律历志》中有“六觚为一握”之记载。，其中“六觚”是指用算筹做出圆内接正六边形。此法是“度角至角”之术。“觚”为正六边形的内角。同时，此术还是中华古代数学科学最早发明使用“割圆术”的典型实例。通过“六觚为一握”将圆周长分割为六等份，即通过算筹图形证实了“径一周三”圆周率源于中国最古老的“割圆术”。另有《周礼·冬官考工记·筑氏为削》:“筑氏为削，长尺博寸，合六而成规。”
《康熙字典》::“今之书刀。”:“古者未有纸笔以削刻字，至汉虽有纸笔仍有书刀是古之遗法也。”周朝时，筑氏是专门制造“削刀”的工匠，刻字的“削刀”长一尺，宽一寸。刀的形状带有一定的弧度，将六把削刀首尾相连接可以组成规范的圆形。“合六而成规”讲的是将圆弧分为六等份，此圆弧恰是圆内接正六边形的弧长。说明筑氏为削运用的是“六觚为一握的测量原理”。4.“桷”(jué)，方形的椽子。《诗经·鲁颂·闷宫》，“路寝孔硕，松桷有舄(xì)”，《榖梁传·庄二四年》，“刻桓宫桷。”释文：“桷，榱(cui)也。方曰桷，圆曰椽。”也指平直的树枝。
5.“楞”，四方的木块。
6.“矩”，古代画方的工具，亦称之为“曲尺”，就是现代列入依法管理的计量器具“直角尺”。《周髀算经》载，商高曰，“既方之外半其一矩”。我们可以理解为：连接圆内接正方形的对角线，将正方形一分为二，即可以得到两个直角三角形。故“矩”在非圆心角，画圆为度的体系之外即是直角。“矩形”即是四个角为直角的四边形。按中国古代土地面积的计量方法“百步为亩”，“长十步宽十步”的正方形，称之为“方田”。秦国商鞅变法，破井田开阡陌使秦国“亩”的单位量值为方步。此时土地面积的计量方法由标准的正方形变成长方形。土地面积的量值由“百步为亩”变成了“长十六宽十五不多不少整一亩”。自黄帝设“里步制”至清顺治确定使用“弓尺”、“绳尺”测量土地面积，中国土地面积计量始终沿用以“矩”确定直角，测量正方形或长方形面积的传统。所以，古代“里步制”的“步”———“平方步”，“里”———“平方里”以及“井田制”之“井”都是正方形。
7.“倨(jù)句(gōu)”，《周礼·冬官考工记·冶氏》，“戈广二寸，内倍之，胡三之，援四之已倨则不入，已句则不决……是故倨句外博……倨句中矩”，此为冶炼制造“戈”和“戟”必须注意的角度的技术要求。倨：《康熙字典》其解：(1)为“倨傲不逊”；(2)为“矩之直者为倨，折而衡者为句”。此处所讲：矩的上下垂直于地平面的一边为倨，使之折而为衡的部分为句。故“倨句”当解释为古代之“矩”器。“倨句外博”“倨句中矩”应该是讲述使用“倨句”测量戈的张角，张角大于倨句角。“倨句中矩”是讲述使用“倨句”测量戟时，戟的张角等于倨句之角和“矩”相符。所以，从计量测量角度分析，“倨句”可以解释为是计量器具“矩”的别称，也可以理解为其量值是直角。“倨”与“句”形成“倨句”一词是表示角的开阖程度。这就是在没有发现、使用用度数区分角度大小的条件下，“有角无度”的认识阶段对“角”这一概念进行表述的专用名词。
8.“磬”，《康熙字典》例举出《周礼·冬官考工记·磬氏为磬》:“磬氏为磬，倨句一矩有半。”之句。其注曰，“先度一矩为句，一矩为股，而求其弦。既而以一矩有半，觸其弦，则磬之倨句也。”按注画图：(1)先用矩的一边作为句，另一边为股，求出弦———即用矩，画出直角三角形；(2)在做出一矩有半直角与弦相交形成的角就是“磬”角。故此注中“倨句”之解为“角”。另外，此注是详述：用矩画出“磬”角的方法。
9.“磬折”，《康熙字典》在解释“磬”字时，提出由“磬”字组成的词“磬折”。“又磬折《礼·曲礼》:立则磬折垂珮。带珮于两边臣则身宜偻折如磬之背故云‘磬折’。”按此解释，“磬折”一词译成现代汉语应当是：《周礼》在规定侍奉君主站立在君王两侧的臣子必须保持鞠躬的姿势，他们佩戴的玉佩垂直于地面，偻身像磬弯曲的程度。所以，此处“磬折”是“身宜偻折如磬之背”的鞠躬的姿势，“磬”为固定的角，“磬折”是像“磬”弯曲的样子。“磬”是古代有定量值的角，“磬折”弯曲的程度与“磬角”近似。
10.“宣”，《康熙字典》中“又《周礼·冬官考工记》车人之事，半矩谓之宣。”“矩”为直角，“半矩”为直角的一半。故“宣”是中国古代“以矩起度”的一个具有定量值的角。
我们认为，商高所述“用矩之道”:其中之“矩”乃指“矩尺”，亦称之“曲尺”，当今称之为“直角尺”。其中“用”字应解释为“检定、使用的全部操作。”其中之“道”字应解释为“道理、道义、法规”。所以我们将商高所述“用矩之道”解释为在“百工”中通行的检定、使用“矩”的技术法规。“用矩之道”中“平矩以正绳”，从计量技术角度出发是扼要说明“矩”器之角的量值溯源与检定。“用矩之道”中“偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”则是“用矩”进行测量的统一操作、计算及“规圆矩方”的作图方法。商高将五个放置“矩”的方式，形成的五种测量方法，运用排比句修辞炼句手法描述了“用矩之道”的内容。
(1)“偃矩以望高”中“偃”是将“矩”仰卧放置，即将“矩”的“股”外侧面置于平面之上，此时“矩”之“句”垂直于平面(见图1、图2)。
(2)“覆矩以测深”中“覆”为倒也。即使“矩”之股端垂直于水平面，“矩”之句与水平面平行(见图3、图4)。
偃矩之图偃矩以望高覆矩之图覆矩以测深(3)“卧矩以知远”中“卧”，平放也。即将“矩”之句放置在水平面上，使“矩”之股垂直于水平面(见图5、图6)。
卧矩之图卧矩以知远(4)“环矩以为圆”将“矩”之句外侧面放置在平面上，以“矩”之句与股交点为圆心，做圆周运动，句之外端的运动轨迹形成“一中等长”的图形，此图形为圆。“环矩为圆”即使用“矩”作圆的作图方法。